2026年10月12日，一名数学爱好者与OpenAI的GPT-6 Astra模型联手，将困扰数学界57年的「圆盘装箱」（circle packing in a circle）难题推进到了新的里程碑——N≤20的所有情况均获得严格证明。此次证明的特殊之处在于，GPT-6 Astra并未直接输出最终答案，而是通过「分步验证—逐步推广」的方式与人类研究者协作，标志着AI在数学研究中的角色正从工具向协作者演进。
57年悬而未决的经典难题
「摆圆」问题（Pirl’s problem）的标准表述是：给定N个半径为1的小圆盘，如何将它们塞进一个尽可能小的大圆中，使得所有小圆盘完全位于大圆内部且互不重叠。数学家Udo Pirl在1969年给出了N≤10的证明，此后数十年间无人能进一步突破。
该问题看似简单直观，证明某个排列已是最优解却极为困难——需要穷举无限种可能的布局，再用数学方法证明不存在更优解。1969年至2026年间，数学家陆续将上界推进到N≤14（1995年）、N≤15（2006年），但N=16至20始终是空白地带。
三层证明策略：GPT-6 Astra的分步攻克
爱好者nor首先让GPT-6 Astra处理N=15的情况——模型成功给出严格证明后，再将同一方法推广至N=16、N=17、N=18和N=20。GPT-6 Astra采用了三层证明策略：
第一层，几何约束缩减：通过对圆心位置施加角度关系约束，将无限种可能的布局空间缩减为有限数量的待检验情况。这是传统数学证明的核心步骤，考验模型对几何不等式的灵活运用。
第二层，排除不可能情况：利用角度关系和圆心间距离约束，排除大量不可能达到最优解的排列组合，大幅降低计算量。
第三层，计算机枚举与几何刚性证明：对剩余可能性，由GPT-6 Astra生成枚举代码并执行验证，最后通过几何刚性定理（geometric rigidity theory）确认所得解在数学意义上已达到最优。
从工具到协作者：AI介入数学研究的范式转变
nor本人在十多年前就开始关注这一难题，在AI出现之前始终找不到突破口。GPT-6 Astra的介入改变了游戏规则——模型不仅能执行大规模计算，还能生成严格可读的数学证明文本，而非仅仅给出数值结果。
数学家陶哲轩此前提出「数学2.0时代」概念，认为AI将成为数学家的助手而非替代品，专业数学家需要学会「prompt engineering」以驾驭AI进行推理。此次nor与GPT-6 Astra的合作是这一趋势的最新佐证：人类提供数学直觉和方向判断，AI负责大规模计算和证明生成，两者形成互补。
值得注意的是，GPT-6 Astra并非一次性生成完整证明，而是通过多轮对话逐步推进——nor描述为「分步验证—逐步推广」的迭代过程。这与传统大模型直接输出答案的范式有本质区别。
圆盘装箱问题的实际意义
圆盘装箱问题并非纯粹的数学游戏，其变体在工程领域有广泛应用：芯片设计中的电子元件布局、货轮集装箱装箱优化、无线传感器网络节点分布，都涉及在有限空间内最优排列圆形或近圆形单元。
未来方向：N=21至30还有多远
此次突破为N=21至30的研究奠定了方法论基础。有数学家预测，GPT-6 Astra的三层策略在理论上可推广到更大的N值，但计算成本会急剧上升——N每增加1，可能的布局数量呈指数增长。
FAQ
什么是「几何刚性证明」？
几何刚性理论是离散几何中的一个分支，研究如何在数学上证明某个结构「无法被扰动」——即一旦找到某个可行解，该解就是唯一的最优解。在圆盘装箱问题中，这意味着证明大圆的半径已无法再缩小。
AI证明的数学结论可靠吗？
GPT-6 Astra生成的每一步证明都经过人工复核，且最终由计算机枚举验证。在nor的公开记录中，所有N=15至20的证明均经过了社区验证，可信度较高。
AI以后能独立证明黎曼猜想吗？
目前AI在数学研究中的能力边界是「结构化推理+大规模计算」，对于需要全新数学思想突破的未解难题（如黎曼猜想），现有AI范式仍有根本性局限。更现实的期待是AI帮助数学家提高证明效率，而非创造全新的数学理论。
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